คณิตศาสตร์ค้นพบโลก หรือสร้างภาษาสำหรับโลก

หมายเหตุเกี่ยวกับที่มาของฉบับภาษาไทย: ฉบับนี้เรียบเรียงจากฉบับหลักภาษารัสเซีย (RU) ที่ใช้อยู่ หากข้อความอ้างอิงในฉบับ RU เป็นคำแปลอยู่แล้ว ข้อความภาษาไทยจะถ่ายทอดผ่านคำแปล RU นั้น การกล่าวถึง ‘ฉบับทั้งสองภาษา’ ในเนื้อหาเดิมหมายถึง RU และ EN การตรวจสอบความหมายและการตรวจโดยผู้ใช้ภาษาไทยเป็นภาษาแม่ของฉบับ TH ยังมีสถานะ NOT_RUN

คำกล่าวเปิดเรื่อง

«เรขาคณิตจะนำจิตวิญญาณไปสู่ความจริง»

เพลโต, «อุตมรัฐ», เล่ม VII, ประโยค «Then, my noble friend…», อนุประโยคภายในประโยค บทความภาษารัสเซียต้นทางแปลเองจากฉบับแปลภาษาอังกฤษของเบนจามิน โจเวตต์ ไม่ได้แปลจากภาษากรีก ฉบับภาษาไทยถ่ายทอดผ่านภาษารัสเซีย

บทความนี้ว่าด้วยอะไร

เมื่อนับก้อนหินสิบสองก้อนทีละก้อน ผลลัพธ์ดูเหมือนเป็นคุณสมบัติของก้อนหินเอง เมื่อเขียนจำนวนสิบสองด้วยสัญลักษณ์ XII ก็เริ่มเห็นการเลือกเครื่องหมายแทนจำนวนโดยมนุษย์ เมื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปที่ไม่มีทางวาดได้อย่างเที่ยงตรงสมบูรณ์ คำถามที่สามก็เกิดขึ้นว่า สิ่งที่ค้นพบตรงนี้คืออะไรกันแน่ ข้อถกเถียงว่าคณิตศาสตร์เป็นการค้นพบหรือการประดิษฐ์เชื่อมโจทย์ต่างชนิดเข้าด้วยกัน คำตอบเดียวจึงมักครอบคลุมกว้างเกินไป เราจะเปรียบเทียบทัศนะทางปรัชญาสามแนวผ่านการบวก หน่วย วงกลม การพิสูจน์ทางเรขาคณิต และการใช้สูตร เพลโตเชื่อมความรู้ทางคณิตศาสตร์กับการหันไปหาสิ่งที่เข้าถึงได้ด้วยปัญญา คานท์อธิบายความรู้นี้ผ่านการสร้างในแบบของการรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ มิลล์มองหาฐานรองรับในประสบการณ์ และแยกการอนุมานจากบทตั้งออกจากความจริงของบทตั้งเอง ทัศนะเหล่านี้ไม่ได้รวมกันเป็นหลักคำสอนเดียว ความเห็นต่างช่วยให้เห็นชัดขึ้นว่า ตรงไหนเราเลือกภาษา ตรงไหนเราได้ผลที่จำเป็นต้องตามมา และตรงไหนเราตรวจว่าคำบรรยายที่เลือกสอดคล้องกับโลกเฉพาะกรณีหรือไม่ การทำเช่นนี้ไม่จำเป็นต้องตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ให้ได้เสียก่อน

I. คำถามสี่ข้อในข้อถกเถียงเดียว

ลองนึกถึงโรงงานช่างที่มีชิ้นส่วนเจ็ดชิ้นซึ่งนับเป็นหน่วยด้วยเกณฑ์เดียวกัน และมีอีกห้าชิ้น คนงานอาจนับชิ้นส่วนทั้งหมด เขียนผลบวก หรือบันทึกผลลงตาราง การกระทำเหล่านี้ให้จำนวนสิบสอง หากสองกลุ่มไม่มีสมาชิกร่วมกันและสมาชิกไม่เปลี่ยนไประหว่างการนับ แต่คำถามต่อผลลัพธ์นั้นต่างกัน ใครคิดสัญลักษณ์แทนจำนวนขึ้นมา เหตุใดการบวกแบบนี้จึงให้คำตอบนี้ คำตอบมีอยู่ก่อนมนุษย์ปรากฏขึ้นหรือไม่ เหตุใดจึงใช้การคำนวณนี้ในโรงงานช่างได้ คำถามสุดท้ายเกี่ยวกับเงื่อนไขการนำไปใช้ คำถามที่สองเกี่ยวกับการให้เหตุผลรองรับขั้นอนุมาน คำถามแรกเกี่ยวกับรูปแบบการเขียน และคำถามที่สามเกี่ยวกับการมีอยู่ของวัตถุ การตอบคำถามหนึ่งยังไม่ตอบคำถามที่เหลือ แม้คำอธิบายที่มาของสัญลักษณ์ได้ดีก็อาจไม่ได้อธิบายเลยว่า เหตุใดข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จึงจำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น

ในภาษาทั่วไป การค้นพบหมายถึงการพบสิ่งที่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้พบ การประดิษฐ์หมายถึงการสร้างเครื่องมือหรือวิธีกระทำ ความหมายเหล่านี้มีประโยชน์ตราบที่ไม่เปลี่ยนให้เป็นการจัดประเภทตายตัวสำหรับทุกด้านของคณิตศาสตร์ เราอาจประดิษฐ์สัญลักษณ์ที่ช่วยให้ค้นพบความสัมพันธ์ซึ่งก่อนหน้านั้นไม่มีใครสังเกตเห็น เราอาจเลือกกติกาของเกม แล้วจึงรู้ว่าภายใต้กติกานั้น ไม่มีทางไปถึงตำแหน่งหนึ่งได้ การเลือกระบบตั้งต้นได้เองไม่ได้หมายความว่าเลือกผลลัพธ์ใด ๆ ของระบบนั้นได้ด้วย ในอีกด้านหนึ่ง การที่ผลลัพธ์ไม่ยอมเป็นไปตามความต้องการของเราก็ยังไม่พิสูจน์ว่าวัตถุทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีอยู่อย่างแยกขาดจากความคิด สิ่งนี้ยืนยันข้อเท็จจริงที่จำกัดกว่าว่า ขั้นอนุมานนี้ถูกจำกัดด้วยเงื่อนไขและความสัมพันธ์ซึ่งเปลี่ยนไม่ได้ด้วยการอยากให้เปลี่ยนเพียงอย่างเดียว

ดังนั้นจึงมีประโยชน์ที่จะแยกการเขียน วัตถุที่พิจารณา วิธีพิสูจน์ และขอบเขตการนำไปใช้ ในโรงงานช่าง การเขียนคือ 7 + 5 วัตถุอาจเป็นจำนวนสมาชิกของสองกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน ขั้นอนุมานที่ตรวจสอบคือการได้จำนวนสมาชิกรวม และขอบเขตการนำไปใช้คือการนับชิ้นส่วนในกรณีเฉพาะ หากนับชิ้นส่วนหนึ่งรวมไว้ทั้งสองกลุ่ม สมการทางคณิตศาสตร์ไม่ได้กลายเป็นเท็จ สิ่งที่เปลี่ยนคือความสอดคล้องระหว่างคำบรรยายสถานการณ์กับบทตั้งของการนับ หากเปลี่ยนไปเขียนด้วยตัวเลขโรมัน สิ่งที่เปลี่ยนคือภาษา หากถามว่าเหตุใดการบวกจึงมีคุณสมบัติที่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นโดยทั่วไป นั่นคือจุดเริ่มของข้อถกเถียงทางปรัชญา การแยกประเด็นเบื้องต้นเช่นนี้ไม่ได้ตัดสินข้อถกเถียงแทนผู้ร่วมอภิปราย แต่ช่วยป้องกันการเผลอแทนที่การให้เหตุผลเรื่องการมีอยู่ของจำนวนด้วยข้อเถียงว่า สัญลักษณ์ใดพิมพ์ลงบัญชีได้สะดวกกว่า

II. เพลโต: จำนวนพาไปพ้นสิ่งที่มองเห็น

ในเล่ม VII ของ «อุตมรัฐ» บทสนทนาเรื่องคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของการอภิปรายเรื่องการศึกษาของผู้พิทักษ์และนักปรัชญา เลขคณิตนำไปใช้ทางทหารได้ แต่เพลโตไม่ได้จำกัดเลขคณิตไว้แค่การจัดทัพและการคำนวณทางการค้าในถ้อยคำของโสเครตีส สิ่งที่สำคัญกว่าคือความสามารถที่จะหันจากสิ่งที่เปลี่ยนแปลงไปหาสิ่งที่ความคิดพิจารณาว่าคงตัว วัตถุที่มองเห็นอาจให้ความประทับใจที่ขัดกัน นิ้วหนึ่งใหญ่เมื่อเทียบกับอีกนิ้ว และเล็กเมื่อเทียบกับนิ้วที่สาม ความติดขัดเช่นนี้กระตุ้นให้แยกความสัมพันธ์และถามว่า ขนาดหรือความเป็นหนึ่งหมายถึงอะไร นี่คือคำบรรยายเชิงปรัชญาเกี่ยวกับการก้าวไปสู่การไตร่ตรอง ไม่ใช่การทดลองสมัยใหม่เกี่ยวกับการทำงานของสมอง จุดมุ่งหมายคืออธิบายว่าเหตุใดเลขคณิตจึงมีที่ทางในแนวคิดเฉพาะแบบหนึ่งเรื่องการศึกษาและการรู้

ประเด็นสำคัญเป็นพิเศษคือการสนทนาเรื่องหน่วยที่เท่ากัน ไม่เปลี่ยนแปลง และแบ่งแยกไม่ได้ในการคำนวณที่กำลังพิจารณา คู่สนทนาจัดจำนวนเช่นนี้ไว้ในกลุ่มสิ่งที่เข้าถึงได้ด้วยความคิด ก้อนหินอาจแตกได้ จุดที่วาดมีความหนา และสีอาจหลุดล่อน แต่ความเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนวัตถุของการพิสูจน์ หากก้อนหินหรือเครื่องหมายเพียงใช้แทนหน่วย ลองนึกถึงจุดที่วาดไว้สองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งจุดใหญ่ อีกกลุ่มจุดเล็ก หากกำลังพูดถึงจำนวนจุด การเพิ่มขนาดก็ไม่ได้เพิ่มจุดใหม่ การให้เหตุผลคงความสัมพันธ์หนึ่งไว้และละอีกความสัมพันธ์หนึ่งออกจากการพิจารณา ความเข้าใจของเพลโตไปไกลกว่าวิธีง่าย ๆ นี้ สำหรับเขา ทิศทางทางคณิตศาสตร์ของความคิดเชื่อมโยงกับความเป็นอยู่ที่แท้จริง ตัวอย่างของเราแสดงการแยกแยะ แต่ตัวมันเองไม่ได้พิสูจน์ทัศนะทางปรัชญาที่หนักแน่นกว่านี้

เรขาคณิตในบทสนทนาเดียวกันควรนำไปสู่ความรู้เกี่ยวกับสิ่งที่คงตัว ไม่ใช่เพียงช่วยจัดค่าย ถ้อยคำทั่วไปของนักเรขาคณิตเรื่องการสร้างและการนำรูปไปใช้ถูกวิจารณ์ เมื่อการกระทำในทางปฏิบัติบดบังวัตถุของความรู้ ตรงนี้ต้องระวังไม่สับเปลี่ยนประเด็นกลับไปอีกด้าน เพลโตยอมรับประโยชน์ในทางปฏิบัติ แต่ถือว่ายังเป็นฐานรองรับที่ไม่เพียงพอสำหรับคุณค่าสูงสุดของกิจกรรมนี้ อีกทั้งไม่ควรนำคำกล่าวของเขาเรื่องความรวดเร็วของผู้ผ่านการฝึกมาเปลี่ยนเป็นคำสัญญาในปัจจุบันว่า การเรียนเรขาคณิตรับประกันว่าจะพัฒนาความสามารถทุกด้าน สำหรับหัวข้อของเรา สิ่งสำคัญคือตัวทิศทาง ตามทัศนะนี้ นักคณิตศาสตร์ไม่ได้เพียงจัดทำพจนานุกรมที่สะดวกสำหรับสิ่งที่มองเห็น แต่เรียนรู้ที่จะแยกแยะวัตถุของความคิด ซึ่งไม่ได้มีเพียงการเปลี่ยนแปลงของรูปที่วาดหรือการใช้จำนวนในตลาด

III. คานท์: การสร้างให้ได้มากกว่าการแยกวิเคราะห์มโนทัศน์

ใน «โปรเลโกเมนา» คานท์แยกระหว่างข้อความตัดสินที่อธิบายสิ่งซึ่งคิดอยู่แล้วในมโนทัศน์ กับข้อความตัดสินที่ขยายความรู้ ตัวอย่าง 7 + 5 = 12 ของเขามุ่งแสดงว่า มโนทัศน์ของการรวมเจ็ดกับห้ายังไม่ได้มีจำนวนสิบสองที่ได้จากการรวมปรากฏอยู่อย่างชัดแจ้ง การจะได้ผลบวกต้องลงมือสร้าง โดยเพิ่มหน่วยเข้าไปทีละหน่วย คานท์กล่าวถึงนิ้วมือและจุดในฐานะตัวช่วยให้เห็นภาพการดำเนินการ แต่หากมองว่านี่เป็นเพียงข้อเสนอว่าเลขคณิตอนุมานมาจากการสังเกตนิ้วมือ ก็เท่ากับเปลี่ยนข้อโต้แย้งของเขา เขาถามถึงฐานรองรับของความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น และเชื่อมโยงกับการรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ วัตถุที่นำมาแสดงเป็นตัวอย่างช่วยนำเสนอการสร้าง แต่ฐานรองรับทางปรัชญาที่คานท์เสนอให้การสร้างนั้น ไม่อาจลดเหลือเพียงชุดการสังเกตที่ได้ผล

คำว่า «การรับรู้โดยตรง» ตรงนี้ต้องพิจารณาให้ดี ในฉบับภาษาอังกฤษที่พอล คารัสเป็นบรรณาธิการ ซึ่งบทความภาษารัสเซียใช้อ้างอิง มีคำว่า intuition และคำอธิบายผ่านการสร้างภาพให้เห็น ในบริบทนี้ไม่ได้หมายถึงลางสังหรณ์ว่าจะได้คำตอบอะไรหรือความมั่นใจส่วนตัว คานท์อภิปรายเรื่องวิธีแสดงสิ่งหนึ่งให้ปรากฏโดยตรง และรูปแบบของการรับรู้ทางประสาทสัมผัส โดยเฉพาะปริภูมิและเวลา สำหรับเขา การเพิ่มหน่วยทางเลขคณิตเชื่อมโยงกับลำดับในเวลา ส่วนการสร้างทางเรขาคณิตเชื่อมโยงกับปริภูมิ เราอาจไม่ยอมรับคำอธิบายนี้ได้ โดยยังไม่แทนที่มันด้วยข้อเสนอว่า «แต่ละคนรู้สึกถึงคณิตศาสตร์ในแบบของตน» การรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ในข้อโต้แย้งของคานท์มีหน้าที่อธิบายความเป็นไปได้ของความรู้ที่ใช้ได้ทั่วไป ไม่ใช่อนุญาตให้แต่ละคนมีผลลัพธ์เฉพาะของตน ความจำเป็นที่ตั้งสมมติไว้เช่นนี้เองที่ทำให้คำถามนี้ต่างจากการศึกษานิสัยการนับของแต่ละบุคคล

แนวทางนี้ไม่ตรงกับการหันไปหาความเป็นอยู่ที่แท้จริงแบบเพลโต คานท์เชื่อมโยงการที่เราเข้าถึงวัตถุได้กับเงื่อนไขที่วัตถุนั้นปรากฏต่อเรา และแยกปรากฏการณ์ออกจากสิ่งในตัวมันเอง แต่เขาก็ปฏิเสธข้อสรุปที่ว่าเรขาคณิตเป็นงานประพันธ์เชิงกวีตามอำเภอใจด้วย ทางออกของเขาต้องอธิบายพร้อมกันว่า เหตุใดความรู้จึงไม่ได้สกัดมาจากการแยกวิเคราะห์มโนทัศน์เพียงอย่างเดียว และเหตุใดความรู้นั้นจึงใช้ได้อย่างเป็นภววิสัยกับวัตถุที่รับรู้ทางประสาทสัมผัส ในบทความนี้ เราพิจารณาแนวคิดนี้ในฐานะทัศนะทางปรัชญาเฉพาะแนวหนึ่ง เราไม่ได้อ้างว่างานวิจัยเรื่องการรับรู้ในปัจจุบันยืนยันทัศนะนี้ และไม่ได้ถือว่าภาพวาดในชั้นเรียนเพียงภาพเดียวพิสูจน์ทัศนะนี้ได้ทั้งหมด ขั้นต่อไปของการเปรียบเทียบคือถามว่า นักคิดที่ย้ายฐานรองรับของความรู้ไปไว้ที่ประสบการณ์จะอธิบายความคงตัวแบบเดียวกันของข้อสรุปทางคณิตศาสตร์อย่างไร

IV. มิลล์: เบื้องหลังสัญลักษณ์คือความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ

ในเล่มที่สองของ «ระบบตรรกศาสตร์» บท VI มิลล์พิจารณาเลขคณิตว่าเป็นกรณีที่ยากสำหรับคำอธิบายของเขาเรื่องศาสตร์ที่ใช้การนิรนัย เขาปฏิเสธความคิดที่ว่า ข้อความเกี่ยวกับสองกับหนึ่งเพียงบอกว่าผู้คนตกลงกันจะใช้คำว่า «สาม» ก้อนหินสองก้อนที่อยู่ข้างอีกหนึ่งก้อน กับก้อนหินชุดเดียวกันที่รวบมารวมไว้ มีองค์ประกอบเหมือนกัน แต่ถูกแสดงในความสัมพันธ์ต่างกัน มิลล์เห็นว่าเรารู้ถึงความเป็นไปได้ที่จะแบ่งและจัดกลุ่มสิ่งที่รวมกันอยู่นี้ใหม่จากประสบการณ์ เขาถือว่าฐานรองรับของเลขคณิตคือการวางหลักทั่วไปจากประสบการณ์เช่นนั้น นี่เป็นการให้เหตุผลทางปรัชญาที่ยังเป็นข้อถกเถียง ไม่ใช่การวัดแบบปัจจุบันว่าเด็กเรียนรู้จำนวนอย่างไร เราไม่จำเป็นต้องใช้คำกล่าวเชิงประวัติศาสตร์ของเขาเรื่องวิธีสอนเป็นหลักฐานว่าวิธีการสอนใดในปัจจุบันมีประสิทธิผล

มิลล์ยังสังเกตลักษณะอีกอย่างว่า ระหว่างการคำนวณพีชคณิตที่ยาว คนเราอาจดำเนินการกับตัวอักษรโดยไม่ต้องนึกเห็นวัตถุเฉพาะอยู่ตรงหน้า ตอนเริ่มต้น โจทย์ถูกแปลงเป็นสัญลักษณ์ ตอนจบ ผลลัพธ์ถูกนำกลับไปเชื่อมกับวัตถุ นี่เป็นวิธีทำให้งานระหว่างทางง่ายขึ้น แต่สำหรับมิลล์ วิธีนี้ไม่ได้ทำให้ข้อสรุปกลายเป็นเพียงการเปลี่ยนชื่อ ตัวอักษรอาจแทนปริมาณต่าง ๆ และลักษณะทั่วไปของการเขียนช่วยให้ละภาพเฉพาะออกจากการพิจารณาได้ เขายืนยันว่าตัวความสัมพันธ์นั้นเกี่ยวกับสิ่งต่าง ๆ ดังนั้นจึงไม่ถูกต้องที่จะเรียกมิลล์ว่าผู้สนับสนุนทัศนะว่า «คณิตศาสตร์เป็นเพียงภาษาที่สร้างขึ้น» เขาอภิปรายว่าเหตุใดภาษาจึงรองรับการอนุมานได้ และมองหาพลังในการพิสูจน์ของมันนอกเหนือจากรูปร่างตัวเขียนเพียงอย่างเดียว คำตอบของเขาต่างจากฐานรองรับความจำเป็นแบบคานท์อย่างมาก แม้ทั้งสองจะไม่พอใจกับการตกลงกันเรื่องถ้อยคำอย่างง่าย ๆ เช่นเดียวกัน

ลองตั้งโจทย์สมมติของเราเอง มีกล่องสองใบที่มีแผ่นนับจำนวนเท่ากัน และเพิ่มแผ่นนับลงในแต่ละกล่องอีกสามแผ่น การเขียนด้วยพีชคณิตทำให้พูดถึงจำนวนตั้งต้นใดก็ได้ โดยไม่ต้องแจกแจงสิบ ยี่สิบ หรือสามสิบกรณีแยกกัน ในขั้นระหว่างทางไม่จำเป็นต้องนึกภาพแผ่นนับ แต่การนำผลลัพธ์ไปใช้ต้องอาศัยความเท่ากันตั้งต้นและการเพิ่มในจำนวนเท่ากัน มิลล์น่าจะอธิบายฐานรองรับของขั้นอนุมานเช่นนี้ผ่านประสบการณ์เกี่ยวกับความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ที่นำมาวางเป็นหลักทั่วไป ส่วนคานท์น่าจะมองหาฐานรองรับของข้อความตัดสินทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นด้วยวิธีอื่น การที่การเขียนสั้น ๆ นี้ใช้ได้ผลไม่ได้เลือกผู้ชนะในข้อถกเถียง สิ่งที่มันแสดงคือ สัญลักษณ์ทั่วไปคงโครงสร้างบางอย่างของโจทย์ไว้ นักปรัชญายังต้องอธิบายต่อไปว่า ความมีเหตุผลรองรับของโครงสร้างนี้มาจากไหน และเหตุใดเราจึงมั่นใจในขั้นอนุมานนั้น

V. สิ่งที่ยังอยู่เมื่อเปลี่ยนสัญลักษณ์

ลองเปรียบเทียบการเขียน 12 กับ XII ทั้งสองต่างกันในด้านรูปแบบ ความคุ้นเคย และความสะดวกสำหรับการดำเนินการชนิดต่าง ๆ หากใช้แทนปริมาณเดียวกันในระบบสัญลักษณ์ที่ตกลงไว้ การเปลี่ยนวิธีเขียนก็ไม่ได้เปลี่ยนปริมาณ นี่เป็นเหตุผลง่าย ๆ ที่ไม่ควรถือว่าจำนวนเป็นสิ่งเดียวกับเครื่องหมายที่มองเห็นซึ่งใช้แทนมัน เรายังอาจเรียกปริมาณที่ไม่ทราบด้วยตัวอักษร a แล้วเปลี่ยนเป็นตัวอักษร n ก็ได้ ตราบที่ความหมายและกฎยังคงเดิม การแปลงรูปหลายอย่างก็ไม่ได้เปลี่ยนเนื้อหา ตรงนี้เห็นการตัดสินใจของมนุษย์อย่างชัดเจน เราเลือกสัญลักษณ์ การวางองค์ประกอบ และวิธีแสดง แต่ข้อเท็จจริงที่ว่าเลือกได้ไม่ได้หมายความว่า หลังจากเลือกแล้ว คำตอบใด ๆ ก็จะยอมรับได้ ระบบสัญลักษณ์สองระบบที่แทนความสัมพันธ์เดียวกันต้องรองรับการแปลงจากระบบหนึ่งไปอีกระบบหนึ่งอย่างสอดคล้องกัน มิฉะนั้นมันจะไม่ได้บรรยายสิ่งเดียวกันอีกต่อไป

สมมติว่าโจทย์กำหนดให้แบ่งแผ่นนับสิบสองแผ่นให้คนสามคนเท่ากันโดยไม่เหลือเศษ วิธีเขียนผลลัพธ์อาจเปลี่ยนได้ แต่ภายใต้เงื่อนไขนี้แต่ละคนจะได้สี่แผ่น หากผู้สร้างสัญกรณ์ใหม่เขียนว่าแต่ละคนได้ห้าแผ่น ระบบของเขาต้องอธิบายว่าเงื่อนไขของโจทย์หายไปไหน หรือแผ่นนับที่เพิ่มมานั้นมาจากไหน การเปลี่ยนชื่อไม่ได้สร้างแผ่นนับขึ้นมา ในความหมายนี้ งานทางคณิตศาสตร์ค้นพบข้อจำกัด แม้ในส่วนที่ภาษาของมันพัฒนาขึ้นโดยมนุษย์ ข้อจำกัดเช่นนี้อาจเกี่ยวข้องกับนิยามและกฎที่เลือกไว้ ส่วนคำยืนยันว่าข้อจำกัดนั้นมีอยู่อย่างเป็นนิรันดร์แยกต่างหาก ต้องอาศัยข้อโต้แย้งเพิ่มเติม สิ่งสำคัญคือไม่เสนอทัศนะทางอภิปรัชญาที่หนักแน่นกว่า ราวกับเป็นผลโดยตรงจากการที่การเขียนผิดไม่ผ่านการตรวจสอบ การที่ข้อสรุปไม่ขึ้นอยู่กับความต้องการนั้นมีคำอธิบายทางปรัชญาที่เป็นไปได้หลายแบบ

ในอีกด้านหนึ่ง ภาษาที่ดีทำให้เห็นความแตกต่าง หากแทนที่จะใส่เพียงตัวเลขรวมในรายงาน เราระบุจำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ซ้ำกับจำนวนรายการบันทึกเกี่ยวกับชิ้นส่วนแยกกัน ก็จะเห็นความเป็นไปได้ของการลงทะเบียนซ้ำ นี่ไม่ใช่การค้นพบกฎเลขคณิตใหม่ แต่เป็นการเลือกวัตถุที่จะนับให้แม่นยำขึ้น อย่างไรก็ดี การเปลี่ยนภาษาอาจนำไปสู่การค้นพบข้อผิดพลาดในการแสดงภาพสถานการณ์ได้ ดังนั้นการสร้างกับการค้นพบอาจร่วมอยู่ในงานเดียวกัน เราสร้างวิธีตั้งคำถาม แล้วจึงพบความสัมพันธ์ที่กำหนดคำตอบอย่างมีข้อบังคับ ไม่ใช่ตามอำเภอใจ คำบรรยายกระบวนการทำงานเช่นนี้ไม่ได้แทนปรัชญาเรื่องฐานรองรับของเพลโต คานท์ หรือมิลล์ แต่ช่วยให้ผู้อ่านไม่เรียกร้องให้คำว่า «การประดิษฐ์» เพียงคำเดียวอธิบายองค์ประกอบทั้งหมดของกิจกรรมทางคณิตศาสตร์ ตั้งแต่รูปแบบตัวพิมพ์จนถึงความจำเป็นของผลที่ตามมา

VI. เหตุใดการนับใหม่จึงตรวจการนำไปใช้ ไม่ได้ตรวจปรัชญาทั้งหมด

กลับมาที่รายการชิ้นส่วนสองรายการซึ่งมีเจ็ดกับห้าชิ้น หากทั้งสองรายการมีชิ้นส่วนเดียวกันอยู่หนึ่งชิ้น จำนวนชิ้นส่วนที่ไม่ซ้ำกันจะเท่ากับสิบเอ็ด สิบสองจะเป็นจำนวนรายการบันทึก หากนับแต่ละรายการบันทึกแยกกัน เราไม่ได้มีคณิตศาสตร์สองแบบที่ขัดกัน แต่มีวัตถุที่นับสองชนิด การหักส่วนที่นับรวมซ้ำต้องอาศัยการสังเกตว่าสองรายการมีส่วนร่วมกัน ตัวอย่างสมมติแสดงว่าขั้นอนุมานทางคณิตศาสตร์เชื่อมโยงกับคำบรรยายสถานการณ์อย่างไร ผู้ตรวจอาจนับชิ้นส่วนจริงใหม่ เปรียบเทียบรหัสระบุชิ้นส่วน หรือเปิดบัตรบัญชี การกระทำเหล่านี้ให้หลักฐานว่าคำบรรยายตั้งต้นตรงกับองค์ประกอบจริงหรือไม่ แต่ไม่ได้ให้คำตอบโดยอัตโนมัติว่า จำนวนมีอยู่นอกความคิดของมนุษย์หรือไม่ การตรวจการนำไปใช้กับการให้เหตุผลทางปรัชญารองรับความสัมพันธ์ของจำนวนยังคงเป็นคนละงานกัน

มิลล์แยกอย่างชัดเจนระหว่างจำนวนวัตถุล้วน ๆ กับความเท่ากันในคุณสมบัติอื่นบางอย่าง เรานับคนสามคนได้โดยไม่ต้องสมมติว่าพวกเขาสูงเท่ากันหรือมีกำลังเท่ากัน แต่หากใช้จำนวนเป็นตัวบ่งชี้น้ำหนักรวมอย่างแม่นยำ ก็ต้องมีข้อมูลน้ำหนักของแต่ละหน่วยที่นับ ตัวอย่างที่บทความตั้งขึ้นนั้นเรียบง่าย พัสดุสองชิ้นเป็นพัสดุสองชิ้น แม้ชิ้นหนึ่งหนักหนึ่งกิโลกรัม อีกชิ้นหนักเก้ากิโลกรัม น้ำหนักเฉลี่ยเท่ากับห้ากิโลกรัม แต่ไม่อาจหาน้ำหนักรวมด้วยการคูณจำนวนพัสดุกับน้ำหนักชิ้นแรกได้ ข้อผิดพลาดเกิดจากสมมติฐานที่เติมเข้ามาว่าน้ำหนักเท่ากัน เราอาจคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร้ข้อผิดพลาด แต่ยังบรรยายสิ่งที่พิจารณาผิดได้ ดังนั้นจึงควรตรวจทั้งการคำนวณและความเชื่อมโยงระหว่างหน่วยที่นับกับคุณสมบัติที่เป็นเหตุให้ต้องนับ

ยังมีเงื่อนไขด้านเวลาด้วย หากระหว่างการนับในโรงงานช่างมีการนำชิ้นส่วนออกไปและนำชิ้นส่วนใหม่เข้ามา ผลลัพธ์ต้องผูกกับจุดเวลาหรือขั้นตอนการทำบัญชี สูตรสมมติอาจบรรยายองค์ประกอบที่คงที่ ขณะที่สถานการณ์กำลังเปลี่ยน การแก้แบบจำลองไม่ได้หมายความว่าเลขคณิตใช้ไม่ได้อีกต่อไป แต่ต้องรวมการรับเข้า การนำออก หรือภาพ ณ จุดเวลาที่ตกลงใช้อ้างอิงไว้ในแบบจำลอง ตัวอย่างนี้ไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของมิลล์เรื่องที่มาของฐานรองรับทางคณิตศาสตร์ แต่สนับสนุนข้อสรุปเชิงปฏิบัติที่จำกัดกว่าว่า การนำไปใช้กับสิ่งทางกายภาพได้ขึ้นอยู่กับว่าใช้อะไรแทนหนึ่งหน่วย ตัดความแตกต่างใดออก และยอมให้เกิดความเปลี่ยนแปลงใดได้ ความสนใจของเพลโตต่อวัตถุที่คงตัวของความคิด และคำถามของคานท์เรื่องเงื่อนไขจำเป็นของการรู้ ยังมีความสำคัญในตัวเอง แม้หลังจากตรวจบัญชีเฉพาะฉบับได้สำเร็จอย่างยิ่งแล้ว

VII. วงกลมกับรอยดินสอ

ลองพิจารณาวงกลมในฐานะเซตของจุดบนระนาบที่ห่างจากจุดศูนย์กลางที่เลือกเท่ากัน รอยดินสอมีความหนา และการวัดขึ้นอยู่กับความละเอียดของเครื่องมือ จากข้อนี้ไม่ได้ตามมาว่าวัตถุทางเรขาคณิตไร้เนื้อหา คุณสมบัติของมันถูกกำหนดไว้แม่นยำกว่าคุณสมบัติของรอยเส้นใด ๆ แต่ก็ไม่ได้ตามมาเช่นกันว่าวัตถุที่มีลักษณะกลมทุกชิ้นเป็นไปตามนิยามที่พิจารณาอยู่อย่างเที่ยงตรง เราอาจสร้างการให้เหตุผลทางเรขาคณิตเกี่ยวกับวงกลมอุดมคติ แล้วแยกไปตัดสินว่าแบบจำลองเช่นนี้เหมาะกับขอบล้อเพียงใด เมื่อทำเช่นนั้น งานก็แบ่งระหว่างการพิสูจน์กับการวัด อย่างแรกยืนยันความสัมพันธ์ภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด อย่างหลังศึกษาวัตถุเฉพาะและขอบเขตความแม่นยำ หากไม่แยกสองอย่างนี้ ข้อถกเถียงก็อาจกลายเป็นการบังคับเลือกระหว่างความสมบูรณ์แบบของภาพวาดกับความไร้ความหมายของเรขาคณิตทั้งหมดได้ง่าย

ข้อเขียนของเพลโตนำความสนใจไปสู่วัตถุของความรู้ที่ไม่ได้มีเพียงการเขียนแบบในทางปฏิบัติ คานท์อธิบายความเป็นไปได้ของเรขาคณิตผ่านการสร้างในการรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ และความเชื่อมโยงระหว่างรูปแบบเชิงปริภูมิกับปรากฏการณ์ ส่วนมิลล์กลับอภิปรายลักษณะเชิงสมมติของการเลือกคุณสมบัติบางอย่างของวัตถุ โดยละคุณสมบัติอื่นออกจากการพิจารณา สำหรับเขา ข้อสรุปอาจน่าเชื่อถือเมื่ออิงบทตั้ง แม้ว่าการนำไปใช้ต้องประเมินว่าบทตั้งนั้นใกล้เคียงกับสถานการณ์เฉพาะเพียงใด ภาพวาดขอบไม่เรียบเพียงภาพเดียวไม่ได้หักล้างทั้งสามทัศนะ และไม่ได้ทำให้ทั้งสามเหมือนกัน ภาพนั้นให้สิ่งพิจารณาร่วมกัน แต่คำตอบของแต่ละทัศนะเกี่ยวข้องกับฐานรองรับต่างกัน เพลโตเน้นทิศทางของการรู้ คานท์เน้นเงื่อนไขของความรู้ที่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น ส่วนมิลล์เน้นฐานรองรับจากประสบการณ์และการแยกข้อสรุปออกจากความแม่นยำของบทตั้ง

ลองตั้งคำถามอีกแบบว่า เราได้รู้อะไรกันแน่เมื่อพิสูจน์คุณสมบัติของวงกลม หากข้อความนั้นกล่าวถึงวัตถุที่กำหนดด้วยคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ใหม่อาจจำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นภายในกรอบที่ยอมรับใช้พิจารณา หากต่อมามันช่วยให้เข้าใจขอบล้อที่ผลิตขึ้น ก็ต้องเพิ่มการตรวจว่ามันแทนวัตถุทางกายภาพได้อย่างไร การที่มนุษย์เลือกนิยามไม่ได้ทำให้เปลี่ยนความสัมพันธ์ที่พิสูจน์แล้วได้ตามใจ โดยยังคงบทตั้งเดิมไว้ ในทางกลับกัน ความสำเร็จของการนำไปใช้กับสิ่งทางกายภาพก็ไม่ได้พิสูจน์โดยอัตโนมัติว่าปรัชญาเกี่ยวกับวัตถุทางคณิตศาสตร์แนวนั้นเป็นจริง สิ่งที่มันแสดงคือคำบรรยายแบบหนึ่งให้ผลในการศึกษาภายใต้เงื่อนไขที่พิจารณา คำตอบเช่นนี้เปิดพื้นที่ให้ทั้งการสร้างเครื่องมือทางความคิด การค้นพบผลที่ตามมา และการศึกษาโลก การกระทำทั้งสามต้องการการตรวจสอบต่างกัน แม้ในการทำงานของคนคนเดียวมักดำเนินไปพร้อมกัน

VIII. สามเหลี่ยมสองรูปกับเงื่อนไขของปริภูมิ

บนระนาบตามกรอบเรขาคณิตแบบยุคลิด ผลรวมมุมภายในของสามเหลี่ยมเท่ากับหนึ่งร้อยแปดสิบองศา เพื่อให้เห็นบทบาทของบทตั้งโดยไม่อ้างการวัดโลกจริง ลองใช้ทรงกลมทางคณิตศาสตร์ เชื่อมขั้วเหนือกับจุดสองจุดบนเส้นศูนย์สูตรตามเส้นเมริเดียนที่ทำมุมห่างกันเก้าสิบองศา แล้วเชื่อมสองจุดนั้นด้วยส่วนหนึ่งในสี่ของเส้นศูนย์สูตร มุมที่จุดยอดตรงขั้วเป็นมุมฉากตามการเลือกเส้นเมริเดียน และที่จุดยอดบนเส้นศูนย์สูตรทั้งสอง เส้นเมริเดียนก็ตัดเส้นศูนย์สูตรเป็นมุมฉากเช่นกัน จึงได้สามเหลี่ยมบนทรงกลมที่มีมุมฉากสามมุม รวมเป็นสองร้อยเจ็ดสิบองศา นี่คือตัวอย่างแบบจำลองอย่างง่ายที่บทความตั้งขึ้น ไม่ได้บรรยายความคลาดเคลื่อนของการสำรวจทางภูมิศาสตร์ และไม่ได้รายงานว่าสามเหลี่ยมรูปใดที่วัดมาหักล้างเลขคณิตในโรงเรียนหรือเปลี่ยนความหมายของเก้าสิบองศา

ในกรอบการพิจารณาต่างกัน สิ่งที่ถือเป็นด้าน เส้นที่สั้นที่สุด และปริภูมิของรูปก็ต่างกัน หากคงเงื่อนไขทั้งหมดของข้อพิสูจน์หนึ่งไว้ เราเปลี่ยนผลลัพธ์เป็นสิ่งที่ต้องการไม่ได้ หากเปลี่ยนไปใช้เงื่อนไขอื่น ก็ต้องตั้งข้อความที่ได้ขึ้นใหม่ ดังนั้นอิสระทางคณิตศาสตร์ในการเลือกวัตถุจึงอยู่ร่วมกับข้อจำกัดอย่างเคร่งครัดต่อข้อสรุปได้ ตัวอย่างนี้ทำให้เราต้องใช้คำอธิบายเชิงประวัติศาสตร์เรื่องความจำเป็นทางเรขาคณิตอย่างระมัดระวังขึ้นด้วย ในข้อความที่บทความภาษารัสเซียอ่าน คานท์เสนอคำยืนยันที่หนักแน่นเรื่องปริภูมิในฐานะรูปแบบของการรับรู้ทางประสาทสัมผัส เราไม่ได้เปลี่ยนคำยืนยันเหล่านี้เป็นคำบรรยายปริภูมิทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด และไม่ยกการสร้างบนทรงกลมของเราไปอ้างเป็นคำตอบของคานท์ต่อข้อถกเถียงสมัยใหม่ เพียงสังเกตว่า ต้องระบุขอบเขตและความหมายของข้อความทางเรขาคณิตก่อนวางเป็นข้อสรุปทั่วไปทางปรัชญาก็เพียงพอ

จากข้อนี้สรุปได้หรือไม่ว่ามนุษย์ประดิษฐ์ปริภูมิขึ้นมา ไม่ได้ เพราะการสร้างคำบรรยายทางคณิตศาสตร์ไม่ได้เท่ากับการสร้างวัตถุทางกายภาพ สรุปได้หรือไม่ว่าคำบรรยายใดที่เลือกก็เหมาะกับธรรมชาติเท่ากัน ก็ไม่ได้เช่นกัน เพราะต้องศึกษาความสอดคล้องแยกต่างหาก สุดท้าย ความต่างระหว่างแบบจำลองเชิงปริภูมิสองแบบไม่ได้หมายความว่าการพิสูจน์กลายเป็นเรื่องรสนิยม ในแต่ละแบบจำลองต้องให้เหตุผลอย่างต่อเนื่องจากเงื่อนไขของมัน เราได้วิธีที่มีประโยชน์ในการทำข้อถกเถียงให้ชัดขึ้น การเลือกกรอบการพิจารณาตั้งต้น ความเคร่งครัดของการอนุมาน และการนำไปใช้กับสิ่งทางกายภาพ ไม่ควรต้องแข่งกันใช้ชื่อเรียกเดียว ข้อพิสูจน์เกี่ยวกับทรงกลมยืนยันความสัมพันธ์ในวัตถุที่ยอมรับมาพิจารณา ส่วนการเลือกวัตถุนี้ใช้กับโจทย์การเดินเรือจะต้องอาศัยข้อมูลอื่น ตัวอย่างสมมติของเราไม่ได้ศึกษาข้อมูลเหล่านั้น จึงจบลงในฐานะตัวอย่างของการแยกบทตั้งโดยเฉพาะ

IX. แบบจำลองของโลกกับการคำนวณที่ได้ผล

ลองนึกถึงที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่โจทย์สมมติกำหนดด้านไว้อย่างเที่ยงตรงว่า ยาวสิบกับสิบสองเมตร พื้นที่ของแบบจำลองเท่ากับหนึ่งร้อยยี่สิบตารางเมตร ที่ดินจริงอาจมีขอบเขตไม่เรียบตรง และขนาดอาจวัดได้ด้วยความแม่นยำที่จำกัด ประโยชน์ของสูตรไม่ได้ทำให้ข้อเท็จจริงเหล่านี้หมดไป เราอาจกำหนดขอบเขตให้ละเอียดขึ้น แบ่งรูปเป็นส่วน ๆ ประเมินความคลาดเคลื่อน และตัดสินว่าผลลัพธ์เพียงพอสำหรับเป้าหมายเฉพาะหรือไม่ ตรงนี้เป็นงานกับคำบรรยายและข้อมูลแล้ว ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ในแบบจำลองสี่เหลี่ยมผืนผ้าไม่ได้ลดความจำเป็นลงเพราะรั้วจริงคด แต่ความมั่นใจในสูตรก็ไม่ควรกลายเป็นความมั่นใจว่าที่ดินทุกแปลงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า การนำไปใช้ที่ดีรักษาทั้งสองด้านไว้ คือความชัดเจนของข้อสรุปและความรับผิดชอบต่อการเลือกสิ่งที่ใช้แทนสถานการณ์

ประสบการณ์เช่นนี้ช่วยเปรียบเทียบความหมายสองแบบของคำว่า «ความเป็นภววิสัย» แบบหนึ่งกล่าวถึงการที่ผลลัพธ์ซึ่งอนุมานอย่างถูกต้องไม่ขึ้นอยู่กับความต้องการของผู้คำนวณ อีกแบบกล่าวถึงความสามารถของคำบรรยายที่จะผ่านการเทียบกับวัตถุเฉพาะและขั้นตอนการวัด ทั้งสองเกี่ยวข้องกันแต่ไม่ใช่สิ่งเดียวกัน เราอาจอนุมานผลที่ตามมาอย่างเคร่งครัดจากสมมติฐานที่ผิดเรื่องรูปร่างที่ดิน เราอาจได้พื้นที่ใกล้เคียงโดยบังเอิญจากการนับหยาบ ๆ ทั้งที่อธิบายเหตุผลรองรับวิธีไม่ได้ ในกรณีแรก ข้อมูลหรือแบบจำลองไม่เพียงพอ ในกรณีที่สอง ความเข้าใจขั้นอนุมานไม่เพียงพอ ทัศนะทางปรัชญาของเพลโต คานท์ และมิลล์ตั้งคำถามที่ลึกยิ่งกว่านั้นถึงฐานรองรับของความใช้ได้ทั่วไปทางคณิตศาสตร์ การคำนวณเพื่องานในชีวิตประจำวันที่สำเร็จเพียงครั้งเดียวไม่อาจปิดคำถามนี้ได้ แม้การนำไปใช้จะให้สิ่งพิจารณาสำคัญสำหรับการอภิปรายความเชื่อมโยงระหว่างความรู้กับโลก

ดังนั้น คำถามเรื่องการค้นพบจึงอาจมีวัตถุต่างกันได้หลายอย่าง เราอาจค้นพบผลที่ตามมาจากกฎที่เลือกไว้ โครงสร้างของโจทย์ที่ไม่เคยสังเกตเห็นมาก่อน หรือความสอดคล้องของแบบจำลองกับปรากฏการณ์ คำถามเรื่องการสร้างก็ไม่ได้มีชนิดเดียวเช่นกัน สิ่งที่สร้างอาจเป็นสัญลักษณ์ นิยาม การตั้งโจทย์ หรือขั้นตอนการสร้าง การมีส่วนร่วมของมนุษย์ไม่ได้ทำให้ประกาศได้ว่าผลลัพธ์ทั้งหมดเป็นไปตามอำเภอใจ ความคงตัวของผลลัพธ์ก็ไม่ได้ทำให้ประกาศได้ว่า วิธีแสดงสิ่งต่าง ๆ ทุกแบบถูกกำหนดมาให้แล้วโดยไม่มีการเลือก การอภิปรายที่รอบคอบขึ้นเริ่มจากตัวอย่างเฉพาะและระบุว่าด้านใดต้องการคำอธิบาย มันอาจจบลงด้วยความเห็นต่างจริง ๆ เรื่องธรรมชาติของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ความเห็นต่างเช่นนี้มีคุณค่ากว่าความเห็นพ้องที่สร้างขึ้นฝืน ๆ ซึ่งทำราวกับว่าเพลโต คานท์ และมิลล์ต่างพูดเหมือนกันว่า «ทุกสิ่งคือจำนวน» ในส่วนที่บทความภาษารัสเซียอ่าน พวกเขาเสนอฐานรองรับต่างกันและทิศทางการตั้งคำถามต่อไปต่างกัน

X. อิสระในการถามกับวินัยในการตอบ

บทบาทเชิงสร้างสรรค์ของมนุษย์ในคณิตศาสตร์เห็นได้ชัดในการตั้งโจทย์ เราอาจถามถึงจำนวนสิ่งของ ลำดับของมัน ระยะห่างระหว่างมัน หรือความเป็นไปได้ในการแบ่ง แผ่นนับชุดเดียวรองรับคำถามเหล่านี้ได้ทั้งหมด แต่คำตอบกล่าวถึงวัตถุต่างกัน เมื่อเลือกความสัมพันธ์แล้ว เราเรียนรู้ที่จะคงความสัมพันธ์นั้นไว้โดยไม่แทนที่ด้วยความสัมพันธ์อื่น ตรงนี้ ความยืนกรานของเพลโตเรื่องวัตถุของความคิดมีประโยชน์ ความรู้ต้องการมากกว่าเครื่องหมายที่มองเห็นชัดหรือประโยชน์เฉพาะหน้า คำถามของคานท์ก็มีประโยชน์เช่นกันว่า เราได้ข้อความตัดสินใหม่ด้วยการกระทำใดในการแสดงสิ่งให้ปรากฏ แทนที่จะเพียงอธิบายถ้อยคำ สุดท้าย การกลับจากสัญลักษณ์ไปหาสิ่งต่าง ๆ แบบมิลล์เตือนให้ตรวจว่า ผลลัพธ์นั้นเกี่ยวข้องกับโจทย์ตั้งต้นจริงหรือไม่ คำถามที่มีประโยชน์เหล่านี้ไม่ได้ทำให้ฐานรองรับทางปรัชญาของทั้งสามคนเข้ากันได้

ในทางปฏิบัติ เราอาจเขียนวิธีแก้กับขอบเขตของมันแยกกัน เช่น «แบ่งแผ่นนับสิบสองแผ่นให้ผู้ร่วมสามคน คนละสี่แผ่น หากแบ่งเท่ากัน แผ่นนับเป็นหน่วยแยกกัน และต้องแบ่งให้หมด» จากนั้นตั้งคำถามอีกอย่างว่า จำเป็นหรือไม่ที่จะต้องแบ่งเท่ากัน คณิตศาสตร์ของวิธีแก้แรกไม่ได้ยืนยันความยุติธรรมของกฎที่เลือกไว้ หากโจทย์เกี่ยวกับผู้คน วิธีแบ่งอาจขึ้นอยู่กับข้อตกลง ความจำเป็น หรือภาระผูกพัน การอภิปรายสิ่งเหล่านี้ต้องมีฐานรองรับของตนเอง นี่ไม่ใช่ข้อบกพร่องของการคำนวณ เพราะมันแสดงผลที่ตามมาจากเงื่อนไขหนึ่งได้อย่างชัดเจน ไม่ควรเรียกร้องคำตอบจากความสัมพันธ์ของจำนวนต่อคำถามที่เราไม่ได้รวมไว้ในการพิจารณา การแยกงานเหล่านี้ช่วยให้ใช้คณิตศาสตร์ได้โดยไม่เปลี่ยนความแม่นยำของมันเป็นข้ออ้างรองรับการตัดสินใจใดก็ตามที่เลือกไว้

ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะหาคำตอบให้คำถามในชื่อเรื่องทีละส่วน ภาษาของคำบรรยายทางคณิตศาสตร์พัฒนาขึ้นโดยมนุษย์ ผลที่ตามมาต้องอาศัยการค้นพบและพิสูจน์ เพราะไม่ได้เปลี่ยนเป็นอะไรก็ได้ตามใจ การนำไปใช้กับโลกต้องกำหนดวัตถุและตรวจเงื่อนไข ส่วนข้อถกเถียงเรื่องฐานรองรับของความรู้ที่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้น และการมีอยู่ของวัตถุทางคณิตศาสตร์ ยังคงเป็นเรื่องทางปรัชญา ตัวอย่างของเราให้เครื่องมือสำหรับตั้งข้อถกเถียง แต่ไม่ได้ขจัดความเห็นต่างของแหล่งอ้างอิง ผู้อ่านอาจชอบทัศนะหนึ่งมากกว่า เมื่อเห็นว่ามันอธิบายความยากข้อใดและยังทิ้งข้อใดไว้ ขณะเดียวกัน วินัยในการทำงานยังคงอยู่ คือระบุหน่วย ความสัมพันธ์ บทตั้ง และวิธีตรวจให้ชัด ความสามารถนี้ทำให้เปลี่ยนวิธีแสดงได้เมื่อโจทย์ต้องการ และยังคงความจำเป็นของข้อสรุปไว้ในกรณีที่กำหนดเงื่อนไขแล้วและเงื่อนไขนั้นเป็นจริงครบถ้วน

สิ่งนี้หมายถึงอะไรในทางปฏิบัติ

เลือกการคำนวณเล็ก ๆ ที่คุณต้องใช้จริง เช่น จำนวนสิ่งของที่ไม่ซ้ำในสองรายการ การแบ่งเวลา หรือพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าสมมติ เริ่มจากเขียนคำถามด้วยถ้อยคำ ระบุว่าสิ่งใดถือเป็นหนึ่งหน่วย นับ ณ เวลาใดหรือนับสมาชิกชุดใด และมีการนับสิ่งเดียวซ้ำหรือไม่ จากนั้นจึงคำนวณ การกระทำแรกนี้แยกขั้นอนุมานทางคณิตศาสตร์ออกจากคำบรรยายสถานการณ์ที่อาจเผลอเขียนไว้ไม่ชัด สำหรับสองรายการที่มีสมาชิกร่วมกัน ให้ระบุจำนวนรายการบันทึกกับจำนวนสิ่งของที่ไม่ซ้ำแยกกัน เพื่อเห็นว่าผลลัพธ์แต่ละอย่างกล่าวถึงวัตถุใด

บนกระดาษอีกแผ่น เปลี่ยนสัญลักษณ์โดยคงความหมายไว้ ใช้ตัวอักษรอื่น ถ้อยคำ หรือตาราง ตรวจว่าผลลัพธ์เปลี่ยนหรือไม่ และคุณอธิบายการแปลงระหว่างการเขียนแต่ละแบบได้หรือไม่ จากนั้นเปลี่ยนเงื่อนไขหนึ่งของตัวโจทย์ เช่น ยอมให้สองรายการมีสมาชิกร่วมกัน ให้พัสดุมีน้ำหนักไม่เท่ากัน หรือใช้วิธีแบ่งอีกแบบ ระบุว่าตอนนี้สิ่งใดต้องคำนวณใหม่ และสิ่งใดเกี่ยวกับการเลือกคำบรรยายหรือกฎ การเปลี่ยนสัญลักษณ์กับการเปลี่ยนบทตั้งต้องยังเป็นการกระทำสองอย่างที่แยกกันได้

สุดท้าย ตั้งคำถามสั้น ๆ สามข้อให้ตัวอย่างของคุณ ตรงนี้มีอะไรที่มีอยู่โดยไม่ขึ้นกับวิธีเขียน เราได้ความรู้ใหม่ด้วยการกระทำใด และต้องมีข้อมูลใดเพื่อนำไปใช้กับสิ่งของจริง เทียบแต่ละข้อตามลำดับกับแนวคำถามของเพลโต คานท์ และมิลล์ที่ได้อ่าน โดยไม่อ้างว่าแต่ละคนมีคำตอบสำเร็จรูปให้สถานการณ์ของคุณ จบด้วยประโยคที่แม่นยำหนึ่งประโยคเกี่ยวกับขอบเขตของผลลัพธ์ แบบฝึกนี้ไม่ได้ตัดสินข้อถกเถียงเรื่องฐานรองรับของคณิตศาสตร์ แต่ทำให้การคำนวณครั้งถัดไปและคำถามทางปรัชญาของคุณชัดเจนขึ้น

คำกล่าวสำคัญ

«หากไม่มีสิ่งนี้ คณิตศาสตร์ก้าวไปแม้แต่ก้าวเดียวไม่ได้»

อิมมานูเอล คานท์, «โปรเลโกเมนา», §7, อนุประโยคต้นของประโยคที่สองก่อนอัฒภาค «สิ่งนี้» หมายถึงการรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ บทความภาษารัสเซียต้นทางแปลเองจากฉบับภาษาอังกฤษของพอล คารัส ฉบับพิมพ์ครั้งที่สาม ปี 1912 ไม่ได้แปลจากภาษาเยอรมัน ฉบับภาษาไทยถ่ายทอดผ่านภาษารัสเซีย

ความเชื่อมโยงระหว่างขนบความคิด

1. จำนวนเชิงนามธรรม: เพลโต ↔ คานท์. ใน «อุตมรัฐ» VII การสนทนาเรื่องหน่วยที่เท่ากัน ไม่เปลี่ยนแปลง และเข้าถึงได้ด้วยความคิด นำเลขคณิตไปสู่สิ่งที่เข้าถึงได้ด้วยปัญญา (ส่วน 199–203) ใน «โปรเลโกเมนา» §2c และ §10 การบวกและจำนวนได้รับการอธิบายผ่านการสร้างในการรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ การเปรียบเทียบช่วยแยกวัตถุทางคณิตศาสตร์ออกจากรอยเครื่องหมายที่มองเห็นซึ่งอาจเป็นอย่างไรก็ได้ แต่การหันไปหาความเป็นอยู่แบบเพลโต กับคำอธิบายเงื่อนไขของการปรากฏแบบคานท์ เสนอฐานรองรับต่างกัน หัวข้อร่วมไม่ได้ยืนยันหลักคำสอนเดียวกัน

2. การบวกขยายความรู้: คานท์ ↔ มิลล์. คานท์วิเคราะห์ 7 + 5 ซึ่งต้องเพิ่มหน่วยตามลำดับ (§2c) มิลล์พิจารณาก้อนหินสองก้อนกับหนึ่งก้อน ว่าเป็นความเป็นไปได้ในการจัดกลุ่มชุดเดียวกันใหม่ซึ่งรู้ได้จากประสบการณ์ («ตรรกศาสตร์», II VI §2) ทั้งสองคัดค้านการลดเนื้อหาของการคำนวณให้เหลือเพียงการเปลี่ยนชื่อ กลไกของการเปรียบเทียบคือคำถามว่า ฐานรองรับของขั้นอนุมานใหม่มาจากไหน นิ้วมือในงานของคานท์ไม่ได้เปลี่ยนคำอธิบายเรื่องความรู้ที่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นของเขาให้เป็นการอุปนัยจากประสบการณ์แบบมิลล์

3. หน่วยใช้แทนอะไร: เพลโต ↔ มิลล์. หน่วยแบบเพลโตเข้าถึงได้ด้วยความคิดและคงความเท่ากันตามที่กำหนด («อุตมรัฐ» VII, 201–203) มิลล์ยืนกรานว่าจำนวนเกี่ยวข้องกับสิ่งต่าง ๆ แม้สัญลักษณ์ทั่วไปจะช่วยให้ไม่ต้องคงภาพเฉพาะไว้ระหว่างคำนวณ (II VI §2, 1936–1946) การเทียบกันแสดงคำตอบสองแบบต่อคำถามว่า เบื้องหลังตัวเลขที่เหมือนกันซ่อนอะไรอยู่ ตรงนี้มิลล์ไม่ได้ปกป้องทัศนะว่า «มีเพียงถ้อยคำ» ส่วนเพลโตก็ไม่ได้ยืนยันว่ารอยเครื่องหมายทางกายภาพทุกอันเป็นหน่วยที่สมบูรณ์แบบในตัวมันเอง

4. เรขาคณิตกับการนำไปใช้: คานท์ ↔ มิลล์. คานท์เชื่อมความรู้ทางเรขาคณิตกับปริภูมิในฐานะรูปแบบของปรากฏการณ์ (§§10–12, หมายเหตุ I) มิลล์แยกความน่าเชื่อถือของการอนุมานจากบทตั้ง ออกจากความจำเป็นที่จะต้องศึกษาความสอดคล้องของบทตั้งกับวัตถุแยกต่างหาก (II VI §§1, 3–4) ความยากร่วมกันคือ ข้อสรุปที่จำเป็นต้องตามมาสัมพันธ์กับสิ่งที่รับรู้ทางประสาทสัมผัสอย่างไร ทางออกต่างกัน คือเงื่อนไขของการปรากฏที่เป็นไปได้สำหรับคานท์ กับการตรวจข้อสมมติในการนำไปใช้เฉพาะกรณีสำหรับมิลล์ ภาพวาดที่ไม่แม่นยำเพียงภาพเดียวไม่ได้ยืนยันความจริงหรือความเท็จของปรัชญาทั้งแนว

5. ประโยชน์กับความเข้าใจ: เพลโต ↔ มิลล์. เพลโตยอมรับประโยชน์ทางทหารของคณิตศาสตร์ แต่ไม่ได้จำกัดทิศทางของความรู้ไว้เพียงประโยชน์นั้น («อุตมรัฐ» VII, 191–197, 214–225) มิลล์บรรยายการแปลงโจทย์จากสิ่งต่าง ๆ เป็นสัญลักษณ์ แล้วแปลงผลลัพธ์กลับ (II VI §2, 1932–1946) ข้อความเหล่านี้ช่วยกันตั้งคำถามว่า นอกเหนือจากการคำนวณที่สะดวกแล้ว คนเราเข้าใจอะไร ได้แก่ วัตถุที่ศึกษาและความหมายของผลลัพธ์ การเปรียบเทียบเชื่อมคำถามทางการศึกษากับทางตรรกศาสตร์ โดยคงความต่างของจุดมุ่งหมายไว้ มันไม่ได้พิสูจน์อิทธิพลทางประวัติศาสตร์หรือแผนการเรียนร่วมกัน

6. การแสดงสิ่งให้ปรากฏไม่ได้ทำให้โลกเป็นไปตามอำเภอใจ: คานท์ ↔ มิลล์. ในหมายเหตุ II ของ «โปรเลโกเมนา» คานท์ยอมรับสิ่งภายนอก โดยแยกความรู้เกี่ยวกับปรากฏการณ์ออกจากความรู้เกี่ยวกับสิ่งในตัวมันเอง มิลล์ยอมให้อนุมานจากข้อสมมติ แต่ทิ้งเรื่องความจริงตามข้อเท็จจริงของข้อสมมติไว้ให้ศึกษาแยกต่างหาก (II VI §4) กลไกคือการแยกคำบรรยายที่สร้างขึ้นออกจากฐานรองรับที่ทำให้มันใช้ได้กับวัตถุ ไม่มีข้อความใดอนุญาตให้ประกาศว่าโลกทางกายภาพเป็นเรื่องแต่ง หรือถือว่าแบบจำลองทุกแบบที่ไม่ขัดแย้งในตัวเองเหมาะกับธรรมชาติเท่ากัน ความแตกต่างของฐานรองรับทางปรัชญายังคงอยู่

แหล่งอ้างอิงปฐมภูมิ

เพลโต, «อุตมรัฐ», เล่ม VII, ฉบับแปลของเบนจามิน โจเวตต์ บทความภาษารัสเซียใช้ส่วนอภิปรายเรื่องเลขคณิตและเรขาคณิต คำยืนยันเรื่องการศึกษาไม่ได้ถูกนำเสนอเป็นผลเชิงประจักษ์สมัยใหม่

อิมมานูเอล คานท์, «โปรเลโกเมนา», ฉบับภาษาอังกฤษของพอล คารัส พิมพ์ครั้งที่สาม ปี 1912 บทความภาษารัสเซียใช้ §2c, §§6–13 และหมายเหตุ I–II โดยพิจารณาการรับรู้โดยตรงอันบริสุทธิ์ในฐานะมโนทัศน์ทางปรัชญา ไม่ใช่ลางสังหรณ์ส่วนบุคคล

จอห์น สจวร์ต มิลล์, «ระบบตรรกศาสตร์», ฉบับพิมพ์ครั้งที่แปด ฉบับ Harper ปี 1882 บทความภาษารัสเซียใช้เล่ม II บท VI, §§1–4 โดยนำเสนอฐานรองรับของคณิตศาสตร์ตามมิลล์ในฐานะข้อโต้แย้งของเขา ส่วนตัวอย่างการทำบัญชีและแบบจำลองในบทความสร้างขึ้นโดยผู้เขียนบทความภาษารัสเซีย

แท็ก

#คณิตศาสตร์, #ปรัชญาคณิตศาสตร์, #จำนวน, #หน่วย, #เลขคณิต, #เรขาคณิต, #การบวก, #การพิสูจน์, #แบบจำลอง, #ความเป็นจริง, #ภาษา, #สัญลักษณ์, #สัญกรณ์, #การรู้, #เพลโต, #คานท์, #มิลล์, #การรับรู้โดยตรง, #ประสบการณ์, #ความจำเป็น, #บทตั้ง, #การนำไปใช้, #วงกลม, #สามเหลี่ยม, #การนามธรรม, #การวัด, #การนับ, #ความเป็นภววิสัย, #การสร้าง, #การค้นพบ, #การประดิษฐ์, #UnitedWisdom

เกี่ยวกับผู้เขียน

Andrey Zarinsh — ผู้เขียนและผู้ก่อตั้งโครงการ United Wisdom ศึกษาหัวข้อการเปลี่ยนแปลงภายใน ความเป็นหนึ่งเดียวของขนบความคิด การสนทนาข้ามวัฒนธรรม และวินัยทางจิตวิญญาณร่วมสมัย Instagram: @andrey.zarinsh.

Maria Evilkut — ผู้เขียนร่วมของ United Wisdom นอกเหนือจากงานศึกษา เธอมุ่งทดสอบแนวคิดเหล่านี้ในทางปฏิบัติ และสังเกตว่าหลักความเป็นหนึ่งเดียวและความเข้าใจซึ่งกันและกันทำงานอย่างไรในชีวิตจริงระหว่างผู้คนและวัฒนธรรม Instagram: @ilkutki.